题目内容
“数缺形时少直观，形少数时难入微”．小明学习上爱动脑，在计算
+
+…+
+…的值时构造了这样一个图形：如图，正△ABC面积为
，分别取AC、BC两边的中点D、E，再分别取CD、CE的中点，依次取下去…，能直观地求出它的值．也请你根据这个图形计算：
+
+…+
+…=______．
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| 4 |
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| 42 |
| 1 |
| 4n |
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| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
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| 1 |
| 4n |
设第n个小三角形的面积为sn，则sn=
根据中位线定理，得出小三角形的面积是对应梯形面积的
即sn=
•
=
那么，s1+s2+s3+…+sn=
（1-4-1+4-1-4-2+…+4-n-2-4-n-1+4-n-1-4-n）=
同时，s1+s2+s3+…+sn=
以上两式联立解得：
+
+…+
+…=
| 4-n |
| 3 |
根据中位线定理，得出小三角形的面积是对应梯形面积的
| 1 |
| 3 |
即sn=
| 1 |
| 3 |
| 4-n-1-4-n |
| 3 |
| 4-n-1-4-n |
| 9 |
那么，s1+s2+s3+…+sn=
| 1 |
| 9 |
| 1-4-n |
| 9 |
同时，s1+s2+s3+…+sn=
| 4-1+4-2+4-3+…+4-n |
| 3 |
以上两式联立解得：
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| 4 |
| 1 |
| 42 |
| 1 |
| 4n |
| 1-4-n |
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