Question

【题目】设△ABC，点P是平面内的任意一点（A、B、C三点除外），若点P与点A、B、C中任意两点的连线的夹角为直角时，则称点P为△ABC的一个勾股点．

（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，试说明点P是△ABC的一个勾股点．

（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，则CP＝　 　；

（3）如图3，四边形ABDC中，DB＝DA，∠BCD＝45°，AC＝，CD＝3．则点D能否是△ABC的勾股点，若能，求出BC的长：若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）或或10；（3）点D可以是△ABC的勾股点，BC的长是

【解析】

（1）根据勾股点的定义可得结论；

（2）若点P是△ABC的勾股点，有三种情况：①当∠APC＝90°时，②当∠BPC＝90°时，③当∠APB＝90°时，分别根据S△ACD＝S△ABC和直角三角形斜边中线的性质进行计算即可；

（3）存在，当∠ADB＝90°时，点D是△ABC的勾股点，如图5，作辅助线，构建直角三角形，证明△AED≌△DFB（AAS），得AE＝DF，根据等腰直角三角形计算AE的长，可得DF的长，可得结论．

（1）∵∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，

∴∠PCB+∠PBC＝180°﹣50°﹣10°﹣30°＝90°，

∴∠BPC＝90°，

∴点P是△ABC的一个勾股点；

（2）点P在射线CD上，若点P是△ABC的勾股点，存在以下三种情况：

①如图2，当∠APC＝90°时，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝10，

∵D是AB的中点，

∴CD＝AB＝5，

S△ACD＝S△ABC＝CDAP，

，

AP＝，

∴；

②如图3，当∠BPC＝90°时，

S△ACD＝S△ABC＝CDBP，

，

BP＝，

∴CP＝；

③如图4，当∠APB＝90°时，

∵D是AB的中点，

∴PD＝AB＝5，

∴PC＝5+5＝10，

综上，PC的长是或或10；

故答案为：或或10；

（3）存在，

当∠ADB＝90°时，点D是△ABC的勾股点，如图5，过A作AE⊥CD，交直线CD于E，过B作BF⊥CD于F，

∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠BDF+∠DBF＝90°，

∴∠ADE＝∠DBF，

∵∠E＝∠F＝90°，AD＝BD，

∴△AED≌△DFB（AAS），

∴AE＝DF，

∵AD＝BD，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠DAB＝45°，

∵∠BCD＝45°，

∴∠BCD＝∠DAB，

∴A、B、D、C四点共圆，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∵AC＝，

∴AE＝CE＝DF＝，

∴CF，

∴BC＝CE＝；

综上，点D可以是△ABC的勾股点，BC的长是．