Question

【题目】已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；

（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝ x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值为16；（3）点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．

【解析】

（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；
（2）由S=S△OBC+S△OCD+S△ODA，即可求解；
（3）∠BPC=45°，则BC对应的圆心角为90°，可作△BCP的外接圆R，则∠BRC=90°，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，证明△BMR≌△RNC（AAS）可求出点R（1，-1），即点R在函数对称轴上，即可求解．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），

∴抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝ x2﹣x﹣4；

（2）设点D（m， m2﹣m﹣4），可求点C坐标为（0，-4），

∴S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA

＝

＝﹣（m﹣2）2+16，

当m＝2时，S有最大值为16；

（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，

圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，设点R（m，n）．

∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，

∴∠CRN＝∠MBR，

∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，

∴△BMR≌△RNC（AAS），

∴CN＝RM，RN＝BM，

即m+2＝n+4，﹣n＝m，

解得：m＝1，n＝﹣1，

即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，

圆的半径为：＝，

则点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．