题目内容

如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F.
(1)求证:EF+
1
2
AC=AB;
(2)点C1从点C出发,沿着线段CB向点B运动(不与点B重合),同时点A1从点A出发,沿着BA的延长线运动,点C1与A1的运动速度相同,当动点C1停止运动时,另一动点A1也随之停止运动.如图2,A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E1⊥A1C1,垂足为E1,请猜想E1F1
1
2
A1C1与AB三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下,当A1E1=3,C1E1=2时,求BD的长.
(1)证明:如图1,过点F作FM⊥AB于点M,在正方形ABCD中,AC⊥BD于点E.
∴AE=
1
2
AC,∠ABD=∠CBD=45°,
∵AF平分∠BAC,
∴EF=MF,
又∵AF=AF,
∴Rt△AMF≌Rt△AEF,
∴AE=AM,
∵∠MFB=∠ABF=45°,
∴MF=MB,MB=EF,
∴EF+
1
2
AC=MB+AE=MB+AM=AB.

(2)E1F1
1
2
A1C1与AB三者之间的数量关系:E1F1+
1
2
A1C1=AB
证明:如图2,连接F1C1,过点F1作F1P⊥A1B于点P,F1Q⊥BC于点Q,
∵A1F1平分∠BA1C1,∴E1F1=PF1;同理QF1=PF1,∴E1F1=PF1=QF1
又∵A1F1=A1F1,∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1
∴A1E1=A1P,
同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1
∴C1Q=C1E1
由题意:A1A=C1C,
∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB,
∵PB=PF1=QF1=QB,
∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1
即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1
∴E1F1+
1
2
A1C1=AB.

(3)设PB=x,则QB=x,
∵A1E1=3,QC1=C1E1=2,
Rt△A1BC1中,A1B2+BC12=A1C12
即(3+x)2+(2+x)2=52
∴x1=1,x2=-6(舍去),
∴PB=1,
∴E1F1=1,
又∵A1C1=5,
由(2)的结论:E1F1+
1
2
A1C1=AB,
∴AB=
7
2

∴BD=
7
2
2

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