Question

如图，在正方形上连接等腰直角三角形，不断反复同一个过程，假设第一个正方形的边长为单位1．第一个正方形与第一个等腰三角形的面积和记作S₁；第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和记作S₂；…；那么第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和S_n用含n的代数式表示为______．

Answer 1

∵第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（

2

2

）¹=

2

2

，
第3个正方形的边长为（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n个正方形的边长为（

2

2

）^n-1，
∴第n个正方形的面积=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
则第n个等腰直角三角形的面积为：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n与n的关系为：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

=

5

2n+1

．
故答案为：

5

2n+1

．