Question

【题目】在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．
在平面直角坐标系中，若一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系？
同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．

（1）小勇说：我们可以从特殊入手，取 进行研究（如图①），此时我发现AD=BC．
小攀说：在图①中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图②中，此时 ，这一结论仍然成立，即 的面积= 的面积，此面积的值为 ．
小高说：我还发现，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是 ．
请完成以上填空；
（2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情况下，证明AD=BC；
小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时， 总是成立的，但我发现当k的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗？
（3）请你结合小峰提出的问题，在图③中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）四边形OHCF,四边形OIDG,6,GH
（2）解：成立，

如图①，连接 ， ， ，

∵点 ， 是反比例图象上的点，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴点 ， 到 的距离相等．

∴ ∥ ．

∴四边形 和四边形 都是平行四边形．

∴ ， ．

即 ．

（3）解：画出图形，得到 ，

∵点 ， 是反比例图象上的点，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴点 ， 到 的距离相等．

∴ ∥ ．

∴四边形 和四边形 都是平行四边形．

∴ ， ．

即 ．

【解析】（1）利用反比例函数的比例系数k 的几何意义，矩形面积=可得出答案;（2）利用基本事实：同底三角形，若面积相等，则第三个顶点的连线和底边平行；（3）借鉴（2）的方法可证得结论仍成立.
【考点精析】关于本题考查的比例系数k的几何意义，需要了解几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积才能得出正确答案．