Question

（本题8分）
某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．

（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变。
小题1:①求树与地面成45°角时的影长。
小题2:②试求树影的最大长度．
（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414， ≈1.732）

Answer 1

小题1:（1）⒌1
小题2:（2）① ⒐6        ②⒑2

分析：
（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）①在△AB₁C₁中，已知AB₁的长，即AB的长，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．过B₁作AC₁的垂线，在直角△AB₁N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根据三角函数求得NC₁的长，即可求解；
②当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解。
解答：
（1）AB=ACtan30°=9×/3=3=5.1（米）
答：树高约为5.1米。
（2）作B₁N⊥AC₁于N。
①如图（2）：

B₁N=AN=AB₁sin45°=3≈3.5（米），
NC₁=NB₁tan60°=3×≈6.1（米），
AC₁=AN+NC₁=3.5+6.1=9.6（米）。
答：树与地面成45°角时的影长约为9.6米。
②如图（2），当树与地面成60°角时影长最大AC₂（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC₂=2AB₂≈10.2米
答：树的最大影长约为10.2米。
点评：一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的问题。