题目内容

【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点M,BE⊥CD于点E.
(1)求证:∠BME=∠MAB;
(2)求证:BM2=BEAB;
(3)若BE= ,sin∠BAM= ,求线段AM的长.

【答案】
(1)证明:如图,连接OM,

∵直线CD切⊙O于点M,

∴∠OMD=90°,

∴∠BME+∠OMB=90°,

∵AB为⊙O的直径,

∴∠AMB=90°.

∴∠AMO+∠OMB=90°,

∴∠BME=∠AMO,

∵OA=OM,

∴∠MAB=∠AMO,

∴∠BME=∠MAB


(2)证明:由(1)有,∠BME=∠MAB,

∵BE⊥CD,

∴∠BEM=∠AMB=90°,

∴△BME∽△BAM,

∴BM2=BEAB


(3)解:由(1)有,∠BME=∠MAB,

∵sin∠BAM=

∴sin∠BME=

在Rt△BEM中,BE=

∴sin∠BME= =

∴BM=6,

在Rt△ABM中,sin∠BAM=

∴sin∠BAM= =

∴AB= BM=10,

根据勾股定理得,AM=8


【解析】(1)由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°,再由直径得出∠AMB=90°,利用同角的余角相等判断出结论;(2)由(1)得出的结论和直角,判断出△BME∽△BAM,即可得出结论,(3)先在Rt△BEM中,用三角函数求出BM,再在Rt△ABM中,用三角函数和勾股定理计算即可.

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