Question

11．M是BC边的中点，I为内心，连接M、I交AB边于D，连接CI交外接圆于E，证明：$\frac{DE}{EI}$=$\frac{BI}{CI}$．

Answer 1

分析 延长IM到F，使得MF=IM，延长CE交∠ABC的外角平分线于G，设CE交AB于N，∠B=2β，∠C=2α，连接CF、BF、GD、BE．首先证明DG∥BC，推出∠CGD=∠BCG=α，推出∠BGD=∠EBG+α=∠EGB+α=∠GBD，由△GDE≌△BDE，推出∠GDE=∠BDE，由DG∥BC，推出∠GDN=∠CBD=2β，推出∠BDE=β=∠DBI，推出DE∥BI∥CF，即可解决问题．

解答 证明：延长IM到F，使得MF=IM，延长CE交∠ABC的外角平分线于G，设CE交AB于N，∠B=2β，∠C=2α，连接CF、BF、GD、BE．
∵BM=CM，MF=IM，
∴四边形IBFC是平行四边形，
∴BI=CF，BF=CI，BF∥CI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ACE=∠BCE=α，∠ABI=∠CBI=β，∠ABE=∠BCE=α，
∵I是△ABC内心，G是△ABC的旁心，
∴∠GBI=90°，
∵∠EIB=α+β，∠EBI=α+β，
∴∠EBI=∠EIB，
∴EB=EI，
∵∠BGE+∠GIB=90°，∠EBG+∠EBI=90°，
∴∠EGB=∠EBG，
∴EG=EB=EI，
∵IN∥BF，
∴$\frac{DB}{DN}$=$\frac{BF}{NI}$=$\frac{CI}{NI}$①，
在△BCN中，由内外角平分线定理可知：$\frac{BC}{BN}$=$\frac{CL}{NI}$=$\frac{CG}{GN}$②，
由①②得到$\frac{DB}{DN}$=$\frac{CG}{GN}$，
∴$\frac{DB-DN}{DN}$=$\frac{CG-GN}{GN}$，
∴$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CN}{GN}$，
∴DG∥BC，
∴∠CGD=∠BCG=α，
∴∠BGD=∠EBG+α=∠EGB+α=∠GBD，
∵DB=DG，DE=DE，EG=BE，
∴△GDE≌△BDE，
∴∠GDE=∠BDE，
∵DG∥BC，
∴∠GDN=∠CBD=2β，
∴∠BDE=β=∠DBI，
∴DE∥BI∥CF，
∴$\frac{DE}{EI}$=$\frac{CF}{CI}$=$\frac{BI}{CI}$．

点评 本题考查三角形内心、外心、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，平行线的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，题目比较难，属于竞赛题目．