Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O在CB上，且AO平分∠BAC，CO=3（如图所示），以点O为圆心，r为半径画圆．
（1）r取何值时，⊙O与AB相切；
（2）r取何值时，⊙O与AB有两个公共点；
（3）当⊙O与AB相切时，设切点为D，在BC上是否存在点P，使△APD的面积为△ABC的面积的一半？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点D作DO⊥AB于D，
∵∠1=∠2，∠C=90°，
∴OD=OC=3，
故当r=3时，⊙O与AB相切；

（2）在Rt△AOC中，AO=

AC2+OC2

=

62+32

=3

5

，
而OB=BC-OC=8-3=5，
∴OA＞OB
∴当3＜r≤5时，⊙O与AB有两个公共点；

（3）连接OD，过点P做PH⊥AB于H；
设CP=x，则PB=8-x，
∵D为切点，
∴OD⊥AB，
∴PH∥OD，
∴

PH

OD

=

PB

OB

，

PH

3

=

8-x

5

，
∴PH=

3

5

（8-x），
∵AC⊥OC，
∴AC切⊙O于C，
∴AD=AC=6；
∴S_△APD=

1

2

AD•PH=

1

2

×6×

3

5

（8-x）=

72

5

-

9

5

x；
由题意：S_△APD=

1

2

S_△ABC
∴

72

5

-

9

5

x=

1

2

×

1

2

×6×8
∴x=

4

3

；
故当PC=

4

3

时，存在P点，使S_△APD=

1

2

S_△ABC．