题目内容
已知:如图,AB为⊙O的弦,过点O作AB的平行线,交⊙O于点C,直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径等于4,tan∠ACB=
,求CD的长.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若⊙O的半径等于4,tan∠ACB=
4 |
3 |
(1)直线BD与⊙O相切.
证明:如图,连接OB.
∵∠OCB=∠CBD+∠D,∠1=∠D,
∴∠2=∠CBD,
∵AB∥OC,
∴∠2=∠A,
∴∠A=∠CBD.
∵OB=OC,
∴∠BOC+2∠3=180°.
∵∠BOC=2∠A,
∴∠A+∠3=90°.
∴∠CBD+∠3=90°.
∴∠OBD=90°.
∴直线BD与⊙O相切.
(2)∵∠D=∠ACB,tan∠ACB=
,
∴tanD=
.
∵∠OBD=90°,OB=4,tanD=
,
∴sinD=
,OD=
=5.
∴CD=OD-OC=1.
证明:如图,连接OB.
∵∠OCB=∠CBD+∠D,∠1=∠D,
∴∠2=∠CBD,
∵AB∥OC,
∴∠2=∠A,
∴∠A=∠CBD.
∵OB=OC,
∴∠BOC+2∠3=180°.
∵∠BOC=2∠A,
∴∠A+∠3=90°.
∴∠CBD+∠3=90°.
∴∠OBD=90°.
∴直线BD与⊙O相切.
(2)∵∠D=∠ACB,tan∠ACB=
4 |
3 |
∴tanD=
4 |
3 |
∵∠OBD=90°,OB=4,tanD=
4 |
3 |
∴sinD=
4 |
5 |
OB |
sinD |
∴CD=OD-OC=1.
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