Question

【题目】如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，将四边形沿直线折叠，得到四边形，点、的对应点分别为点、．直线交于点．

（1）求证：；

（2）连接，已知．

①如图①，当，时，求的长度；

②如图②，当四边形为菱形时，请直接写出的长度．

图① 图②

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①，②3．

【解析】

（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，则；

（2）先在Rt△BAH中根据勾股定理列方程计算的长，进而求出PH，再在Rt△PFH中求出FH即可；

（3）由四边形为菱形结合（1）；可知△BEH为等边三角形，结合30°三角形性质可得BE= ，进而根据折叠性质求出AD．

（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,

由将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BEFG，

得，∠HBE=∠CBE，

∴∠HEB=∠CBE，

∴∠HBE=∠HEB，

∴EH=BH

(2)①∵AD=6，AE=AD，

∴AE=1，

∵EH=BH，

∴AH=EH-AH=BH-1

又在矩形ABCD中，∠BAD=90°,

∴∠BAH=90°．

在Rt△BAH中,,

∴，

∴．

由将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BEFP，

得，BP=BC=AD=6,PF=CD=3,∠FPH=90°

∴，

在Rt△PFH中,．

②AD=3．

理由如下：由将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BEFP，可知 ED=EF，

当四边形为菱形时，则BH=BE=EF，

由（1）可知，EH=BH，

∴△BEH为等边三角形，

∴∠ABE=60°，

∵∠EAB=90°，，

∴，，

∵AD=AE+ED，ED=EF,

∴