题目内容

【题目】已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.

【答案】(1);(2)存在,P(5,3);(3)M(1,0)或(﹣5,)时,|PM﹣AM|的值最大,为5

【解析】(1)设抛物线的解析式为,∵A(1,0)、B(0,3)、C(﹣4,0),∴,解得:a=,b=,c=3,∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为

(2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,理由为:

∵OB=3,OC=4,OA=1,∴BC=AC=5,当BP平行且等于AC时,四边形ACBP为菱形,∴BP=AC=5,且点P到x轴的距离等于OB,∴点P的坐标为(5,3),当点P在第二、三象限时,以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形,则当点P的坐标为(5,3)时,以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形;

(3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0),∵A(1,0),P(5,3),∴,解得:k=,b=,∴直线PA的解析式为,当点M与点P、A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM﹣AM|<PA,当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|=PA,∴当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|的值最大,即点M为直线PA与抛物线的交点,解方程组,得,∴点M的坐标为(1,0)或(﹣5,)时,|PM﹣AM|的值最大,此时|PM﹣AM|的最大值为5.

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