题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴相交于B、C两点,动点D在线段OB上,将线段DC绕着点D顺时针旋转90°得到DE,过点E作直线lx轴于H,过点C作CFy轴,交直线l于F,设点D的横坐标为m.

(1)请直接写出点B、C的坐标;

(2)当点E落在直线BC上时,求tanFDE的值;

(3)对于常数m,探究:在直线l上是否存在点G,使得CDO=DFE+DGH?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)B(5,0),C(0,3);(2);(3)当0m3时,存在CDO=DFE+DGH,此时G(3+m,)或(3+m,﹣).

【解析】

试题分析:(1)分别令x=0和y=0,即可求得;

(2)证得四边形COHF是矩形,然后证得OCD≌△HDE,从而证得DHF是等腰直角三角形,得出HDE+FDE=45°,由OCD+ECF=45°,得出ECF=FDE,进一步得出OBC=FDE,解直角三角形即可求得tanOBC==,从而得出tanFDE=

(3)根据三角形全等的性质要使CDO=DFE+DGH,只要EDF∽△EGD,所以只要,即DE2=EFEG,由(2)可知:DE2=CD2=OD2+OC2=m2+32,EF=3﹣m,然后分三种情况讨论即可求得.

试题解析:(1)直线与x轴、y轴相交于B、C两点,令y=0,则0=,解得x=5,令x=0,则y=3,B(5,0),C(0,3);

(2)如图1,∵∠CDE=90°,∴∠CDO+EDH=90°,∵∠CDO+OCD=90°,∴∠OCD=EDH,在OCD和HDE中,∵∠OCD=HDE,COD=DHE=90°,CD=DE∴△OCD≌△HDE(AAS),DH=OC=3,直线lx轴于H,CFy轴,四边形COHF是矩形,FH=OC=3,DH=HF,∴∠HDF=45°,即HDE+FDE=45°,CD=DE,CDE=90°,∴∠DCE=45°,∴∠OCD+ECF=45°,∴∠ECF=FDE,∵∠OBC=ECF,tanOBC==tanFDE=

(3)如图2,由(2)可知OCD≌△HDE,∴∠CDO=DEH,要使CDO=DFE+DGH,只要DEH=DFE+DGH,在DEF中,DEH=EDF+DFE,只要EDF=DGF,∵∠FED=GED,只要EDF∽△EGD,只要,即DE2=EFEG,由(2)可知:DE2=CD2=OD2+OC2=m2+32,EF=3﹣m,当0m3时,EG==,HO=3+m,此时,G(3+m,),根据对称可知,当0m3时,此时还存在G′(3+m,﹣);

当m=3时,此时点E和点F重合,DFE不存在,当3m5时,点E在F的上方,此时,DFEDEF,此时不存在CDO=DFE+DGH,综上,当0m3时,存在CDO=DFE+DGH,此时G(3+m,)或(3+m,﹣).

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