题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B在x轴的正半轴上.∠OAB=90°且OA=AB,OB,OC的长分别是一元二次方程的两个根(OB>OC).
(1)求点A和点B的坐标.
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l与y轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=4时,直线l恰好过点C.当0<t<3时,求m关于t的函数关系式.
(3)当m=3.5时,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)A(3,3), B(6,0);(2)m=t(0<t<3);(3)P(2,0)或(
,0).
【解析】
(1)先利用因式分解法解方程可得到OB=6,OC=5,则B点坐标为(6,0),作AM⊥x轴于M,如图,利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM=
OB=3,于是可写出B点坐标;
(2)作CN⊥x轴于N,如图,先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为(4,﹣3),再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为,直线OA的解析式为y=x,则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q(t,t),R(t,
t),所以QR=t﹣(
t),从而得到m关于t的函数关系式.
(3)利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6,直线BC的解析式为,然后分类讨论:当0<t<3时,利用
t=3.5可求出t得到P点坐标;
当3≤t<4时,则Q(t,﹣t+6),R(t,t),于是得到﹣t+6﹣(
t)=3.5,解得t=10,不满足t的范围舍去;当4≤t<6时,则Q(t,﹣t+6),R(t,
),所以﹣t+6﹣(
)=3.5,然后解方程求出t得到P点坐标.
(1)∵方程的解为
=5,
=6,
∴OB=6,OC=5,
∴B点坐标为(6,0),
作AM⊥x轴于M,如图,
∵∠OAB=90°且OA=AB,
∴△AOB为等腰直角三角形,
∴OM=BM=AM=OB=3,
∴A点坐标为(3,3);
(2)作CN⊥x轴于N,如图,
∵t=4时,直线l恰好过点C,
∴ON=4,在Rt△OCN中,CN==
=3,
∴C点坐标为(4,﹣3),
设直线OC的解析式为y=kx,把C(4,﹣3)代入得4k=﹣3,解得k=,
∴直线OC的解析式为,设直线OA的解析式为y=ax,
把A(3,3)代入得3a=3,解得a=1,
∴直线OA的解析式为y=x,
∵P(t,0)(0<t<3),
∴Q(t,t),R(t,t),
∴QR=t﹣(t)=
t,即m=
t(0<t<3);
(3)设直线AB的解析式为y=px+q,把A(3,3),B(6,0)代入得:,解得:
,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6,
同理可得直线BC的解析式为;
当0<t<3时,m=t,
若m=3.5,则t=3.5,
解得t=2,此时P点坐标为(2,0);
当3≤t<4时,Q(t,﹣t+6),R(t,t),
∴m=﹣t+6﹣(t)=
t+6,
若m=3.5,则t+6=3.5,
解得t=10(不合题意舍去);
当4≤t<6时,Q(t,﹣t+6),R(t,),
∴m=﹣t+6﹣()=
t+15,
若m=3.5,则t+15=3.5,解得t=
,
此时P点坐标为(,0),
综上所述,满足条件的P点坐标为(2,0)或(,0).
