题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点Bx轴的正半轴上.∠OAB=90°且OA=ABOBOC的长分别是一元二次方程的两个根(OBOC).

1)求点A和点B的坐标.

2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点OB重合),过点P的直线ly轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=4时,直线l恰好过点C.当0t3时,求m关于t的函数关系式.

3)当m=3.5时,请直接写出点P的坐标.

【答案】1A33), B60);(2m=t0t3);(3P20)或(0).

【解析】

(1)先利用因式分解法解方程可得到OB=6,OC=5,则B点坐标为(6,0),作AMx轴于M,如图,利用等腰直角三角形的性质得OM=BM=AM=OB=3,于是可写出B点坐标;

(2)作CNx轴于N,如图,先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为(4,﹣3),再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式为,直线OA的解析式为y=x,则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Qtt),Rtt),所以QR=t﹣(t),从而得到m关于t的函数关系式.

(3)利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+6,直线BC的解析式为,然后分类讨论:当0<t<3时,利用t=3.5可求出t得到P点坐标;

3≤t<4时,则Qt,﹣t+6),Rtt),于是得到﹣t+6﹣(t)=3.5,解得t=10,不满足t的范围舍去;当4≤t<6时,则Qt,﹣t+6),Rt),所以﹣t+6﹣()=3.5,然后解方程求出t得到P点坐标.

(1)∵方程的解为=5,=6,

OB=6,OC=5,

B点坐标为(6,0),

AMx轴于M,如图,

∵∠OAB=90°OA=AB

AOB为等腰直角三角形,

OM=BM=AM=OB=3,

A点坐标为(3,3);

(2)作CNx轴于N,如图,

t=4时,直线l恰好过点C

ON=4,在RtOCN中,CN===3,

C点坐标为(4,﹣3),

设直线OC的解析式为y=kx,把C(4,﹣3)代入得4k=﹣3,解得k=

∴直线OC的解析式为,设直线OA的解析式为y=ax

A(3,3)代入得3a=3,解得a=1,

∴直线OA的解析式为y=x

Pt,0)(0<t<3),

Qtt),Rtt),

QR=t﹣(t)=t,即m=t(0<t<3);

(3)设直线AB的解析式为y=px+q,把A(3,3),B(6,0)代入得,解得

∴直线AB的解析式为y=﹣x+6

同理可得直线BC的解析式为

0<t<3时,m=t

m=3.5,则t=3.5

解得t=2,此时P点坐标为(2,0);

3≤t<4时,Qt,﹣t+6),Rtt),

m=﹣t+6﹣(t)=t+6

m=3.5,则t+6=3.5

解得t=10(不合题意舍去);

4≤t<6时,Qt,﹣t+6),Rt),

m=﹣t+6﹣()=t+15

m=3.5,则t+15=3.5,解得t=

此时P点坐标为(,0),

综上所述,满足条件的P点坐标为(2,0)或(,0).

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