题目内容

【题目】数学兴趣活动课上,小明将等腰△ABC的底边BC与直线1重合,问:

1)已知ABAC6,∠BAC120°,点PBC边所在的直线l上移动,根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”,小明发现AP的最小值是   

2)为进一步运用该结论,小明发现当AP最短时,在RtABP中,∠P90°,作了AD平分∠BAP,交BP于点D,点EF分别是ADAP边上的动点,连接PEEF,小明尝试探索PE+EF的最小值,为转化EF,小明在AB上截取AN,使得ANAF,连接NE,易证△AEF≌△AEN,从而将PE+EF转化为PE+EN,转化到(1)的情况,若BP3AB6AP3,则PE+EF的最小值为   

3)请应用以上转化思想解决问题(3),在直角△ABC中,∠C90°,∠B30°,AC10,点DCD边上的动点,连接AD,将线段AD顺时针旋转60°,得到线段AP,连接CP,求线段CP的最小值.

【答案】(1)3;(2);(3)PC的最小值为5

【解析】

1)如图1中,作AHBCH.根据垂线段最短,求出AH即可解决问题.

2)如图2中,在AB上截取AN,使得ANAF,连接NE.作PHABH.由EAN≌△EAFSAS),推出ENEF,推出PE+EFPE+NE,推出当PEN共线且与PH重合时,PE+PF的值最小,最小值为线段PH的长.

3)如图3中,在AB上取一点K,使得AKAC,连接CKDK.由PAC≌△DAKSAS),推出PCDK,易知KDBC时,KD的值最小,求出KD的最小值即可解决问题.

解:(1)如图1中,作AHBCH

ABAC6AHBC

∴∠BAH=∠CAHBAC60°

AHABcos60°3

根据垂线段最短可知,当APAH重合时,PA的值最小,最小值为3

故答案为3

2)如图2中,在AB上截取AN,使得ANAF,连接NE.作PHABH

∵∠EAN=∠EAFANAFAEAE

∴△EAN≌△EAFSAS),

ENEF

PE+EFPE+NE

∴当PEN共线且与PH重合时,PE+PF的值最小,最小值为线段PH的长,

ABPHPAPB

PH

PE+EF的最小值为

故答案为

3)如图3中,在AB上取一点K,使得AKAC,连接CKDK

∵∠ACB90°,∠B30°

∴∠CAK60°

∴∠PAD=∠CAK

∴∠PAC=∠DAK

PADACAKA

∴△PAC≌△DAKSAS),

PCDK

KDBC时,KD的值最小,最小值为5

PC的最小值为5

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