题目内容
如图,在△ABC中,∠B=60°,BA=24cm,BC=16cm.现有动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动;动点Q从点C出发,沿线段CB向点B运动,如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,它们同时出发,运动时间为t秒,求:
(1)当t为何值时,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半;
(2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少?
(1)当t为何值时,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半;
(2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少?
(1)分别过C,Q作CG⊥AB,QH⊥AB于G,H,
∵BC=16,∠B=60°,
∴CG=BC•sin60°=8
,
又∵AB=24,
∴S△ABC=
AB•CG=96
,
又∵AP=4t,CQ=2t,
∴BP=24-4t,BQ=16-2t(0<t<8),
∴QH=BQ•sin60°=(8-t)
,
∴S△PBQ=
BP•QH=
×(24-4t)×(8-t)
,
又∵S△PBQ=
S△ABC,
∴
×(24-4t)×(8-t)
=
×96
,
∴t2-14t+24=0,
∴t1=2,t2=12(舍去),
∴当t为2秒时,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半.
(2)当t=2时,HQ=6
,BQ=12,BP=16,
∴BH=
BQ=6,PH=16-6=10,
又∵在Rt△PQH中,PQ2=HQ2+PH2,
∴PQ=
=4
.
∵BC=16,∠B=60°,
∴CG=BC•sin60°=8
3 |
又∵AB=24,
∴S△ABC=
1 |
2 |
3 |
又∵AP=4t,CQ=2t,
∴BP=24-4t,BQ=16-2t(0<t<8),
∴QH=BQ•sin60°=(8-t)
3 |
∴S△PBQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
又∵S△PBQ=
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
∴t2-14t+24=0,
∴t1=2,t2=12(舍去),
∴当t为2秒时,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半.
(2)当t=2时,HQ=6
3 |
∴BH=
1 |
2 |
又∵在Rt△PQH中,PQ2=HQ2+PH2,
∴PQ=
(6
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