Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a+bx+c(a<0)经过点A，B，

(1)求a、b满足的关系式及c的值，

(2)当x<0时，若y=a+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围，

(3)如图，当a=1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为?若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由，

Answer 1

【答案】（1）b=3a+1；c=3；（2）；（3）点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）.

【解析】

（1）求出点A、B的坐标，即可求解；

（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴，而b=3a+1，即：，即可求解；

（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，由S△PAB=，则=1，即可求解．

解：（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=，

故点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），则c=3，

则函数表达式为：y=ax2+bx+3，

将点A坐标代入上式并整理得：b=3a+1；

（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，

则函数对称轴，

∵，

∴，

解得：，

∴a的取值范围为：；

（3）当a=时，b=3a+1=

二次函数表达式为：，

过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，

∵OA=OB，

∴∠BAO=∠PQH=45°，

S△PAB=×AB×PH=××PQ×=，

则PQ==1，

在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，

则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为，

∴，

设点P（x，-x2-2x+3），则点Q（x，x+3），

即：-x2-2x+3-x-3=±1，

解得：或；

∴点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）.