Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tanB =，求AD的长.

Answer 1

（1）证明略
（2）

（1）证明：∵ OD⊥AC于点E，
∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．
∴ OA⊥AD于点A．………………………1分
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线． ……………………2分
（2）解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴．………………………………………………………3分
∵∠B=∠C，tanB =，
∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．
∴．
设⊙O的半径为r，则．
在Rt△OAE中，由勾股定理得 ，即 ．
解得 r =5．……………………………………………………………………4分
∴ 在Rt△OAE中，．
∴ 在Rt△OAD中，． ………………………5分