Question

如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（3）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）由（1）可得BE=DF，
又AB∥CD，
∴BEDF，
∴四边形BEDF是平行四边形；

（3）是菱形．
理由如下：连接EF，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DFAE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
分析：（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；
（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（3）连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．