Question

如图，在直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁O、 A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₃C₂、…、A_nB_nC_nC_n-1的顶点A₁、A₂、A₃、…、A_n均在直线y＝kx＋b上，顶点C₁、C₂、C₃、…、C_n在x轴上，若点B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），那么点A₄的坐标为        ，点A_n的坐标为        ．

Answer 1

A₄（7，8）；A_n（2^n-1-1，2^n-1）．

试题分析：先求得直线的解析式，分别求得A₁，A₂，A₃…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
试题解析：∵B₁的坐标为（1，1），点B₂的坐标为（3，2），
∴正方形A₁B₁C₁O₁边长为1，正方形A₂B₂C₂C₁边长为2，
∴A₁的坐标是（0，1），A₂的坐标是：（1，2），
代入y=kx+b得

解得：
则直线的解析式是：y=x+1．
∵A₁B₁=1，点B₂的坐标为（3，2），
∴A₁的纵坐标是：1=2⁰，A₁的横坐标是：0=2⁰-1，
∴A₂的纵坐标是：1+1=2¹，A₂的横坐标是：1=2¹-1，
∴A₃的纵坐标是：2+2=4=2²，A₃的横坐标是：1+2=3=2²-1，
∴A₄的纵坐标是：4+4=8=2³，A₄的横坐标是：1+2+4=7=2³-1，
即A₄（7，8）
据此可以得到A_n的纵坐标是：2^n-1，横坐标是：2^n-1-1．
故点A_n的坐标为 （2^n-1-1，2^n-1）．