题目内容
【题目】如图所示,四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P是BC的中点;④BP∶BC=2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
【解析】
利用相似三角形的判定定理,以及正方形的性质逐项判断即可.
解:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=CD,∠B=∠C=90°,
∵E为CD中点,
∴CD=2CE,即AB=BC=2CE,
①当∠APB=∠EPC时,结合∠B=∠C,可推出△ABP∽△ECP;
②当∠APE=∠APB≠60°时,则有∠APB≠∠EPC,所以不能推出△ABP∽△ECP;
③当P是BC中点时,则有BC=2PC,可知PC=CE,则△PCE为等腰直角三角形,而BP≠AB,即△ABP不是等腰直角三角形,故不能推出△ABP∽△ECP;④当BP:BC=2:3时,则有BP:PC=2:1,且AB:CE=2:1,结合∠B=∠C,可推出△ABP∽△ECP相似;
故选C.

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