Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．
（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是AC的中点．

又∵点E是边AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥BC，

又∵点F在CB的延长线上，

∴OE∥BF．

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四边形OBFE是平行四边形

（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．

理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF=90°，

∴四边形OBFE是矩形．

【解析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形． 只要证明∠EOB=90°即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定方法的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题．