Question

已知：抛物线y=x²-2x-m（m＞0）与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点C₁．
（1）求抛物线的对称轴及点C、C₁的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C₁、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有平行四边形的周长．

Answer 1

（1）∵y=x²-2x-m=（x-1）²-1-m，
∴对称轴为直线x=1，
令x=0，得y=-m，即C（0，-m），
又∵C1与C点关于抛物线的对称轴对称，
∴C1（2，-m）；

（2）如图所示
①当P′Q∥CC₁且P′Q=2时，P′横坐标为3，代入二次函数解析式求得P′（3，3-m），
②当PQ∥CC₁且PQ=2时，P横坐标为-1，代入二次函数解析式求得P（-1，3-m），
③因为CC₁⊥Q'P″，当Q′F=P″F，CF=C₁F时，P″为二次函数顶点坐标，为（1，-1-m），
由于P″和Q′关于直线CC₁对称，
所以Q′纵坐标为2（-m）+1+m=-m+1，
得Q′（1，1-m），
所以满足条件的P、Q坐标为P（-1，3-m），Q（1，3-m）；P′（3，3-m），Q（1，3-m）；P″（1，-1-m），Q′（1，1-m），
∵Q点纵坐标为3-m，C点纵坐标为-m，
∴CW=3-m+m=3，又因为WQ=1，
∴CQ=

12+32

=

10

，又因为CC1=2，
∴平行四边形CC₁P′Q周长为（2+

10

）×2=4+2

10

，
同理，平行四边形CC₁QP周长也为4+2

10

；
∵CF=1，FQ=

1

2

[1-m-（-1-m）]=1，C′Q=

12+12

=

2

，
∴平行四边形CC1P′Q周长为4

2

，
综上所述：平行四边形周长为4+2

10

或4

2

．