题目内容

【题目】如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.

(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?

(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?

(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.

【答案】(1)6秒;(2)6.5秒;(3)7秒.

【解析】分析:(1)设经过ts时,四边形PQCD是平行四边形,根据DP=CQ,代入后求出即可;

(2)设经过ts时,四边形PQBA是矩形,根据AP=BQ,代入后求出即可;

(3)设经过t(s),四边形PQCD是等腰梯形,利用EP=2列出有关t的方程求解即可.

详解:(1)设经过x秒,四边形PQCD为平行四边形

即PD=CQ

所以24﹣x=3x,

解得:x=6.

(2)设经过y秒,四边形PQBA为矩形,

即AP=BQ,

所以y=26﹣3y,

解得:y=

(3)设经过t秒,四边形PQCD是等腰梯形.

过P点作PE⊥AD,过D点作DF⊥BC,

∴∠QEP=∠DFC=90°

∵四边形PQCD是等腰梯形,

∴PQ=DC.

又∵AD∥BC,∠B=90°,

∴AB=PE=DF.

在Rt△EQP和Rt△FCD中,

PQ=DC

PE=DF

∴Rt△EQP≌Rt△FCD(HL).

∴EQ=FC

∵FC=BC﹣AD=26﹣24=2.

又∵BQ=BC-CQ=26﹣3t,

∴EQ=AP﹣BQ=t﹣(26﹣3t)=4t-26.

∴4t-26=2

得:t=7.

∴经过7s,PQ=CD.

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