Question

如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是

 

．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．

Answer 1

分析：根据菱形的判定判断①即可；根据菱形性质求出四边形BEPG是平行四边形，推出PE=BG，PG=BE，根据全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；求出四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判断④．

解答：解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，

BE=PG BP=BP PE=BG

∴△BEP≌△PGB（SSS），
∴②正确；
∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，
∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EBP=∠GBP，
∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；
故答案为：①②④．

点评：本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是比较容易出错．