Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两个点A（x1，0）和点B（x2，0）与y轴的正半轴交于点C，如果x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（x1＜x2），且图象经过点（2，3）

（1）求抛物线的解析式并画出图象

（2）x在什么范围内函数值y大于3且随x的增大而增大．

（3）设（1）中的抛物线顶点为D，在y轴上是否存在点P，使得DP+BP的和最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（2）0＜x＜1；（3）P点坐标为（0，3）．

【解析】试题分析: （1）根据二次函数与一元二次方程的关系可知，方程 的两个根即为函数与轴的交点横坐标，利用待定系数法列出函数解析式，将代入解析式，求出系数即可，根据函数解析式求出函数图象的顶点坐标，再求出与坐标轴的交点坐标即可画出函数图象．
（2）根据图象直接解答即可．
（3）作关于轴的对称点则坐标为 连接，设的解析式为求出函数解析式，与轴交点坐标即为点坐标．

试题解析：（1）设函数解析式为

把点（2，3）代入得，

解得

故函数解析式为

当时，

解得

故函数与x轴的交点坐标为和点

当时， ，函数与轴的交点为

又因为函数图象对称轴为

将代入解析式得，

则函数顶点坐标为 如图：

（2）由图可知， 时， 大于3且随的增大而增大．

（3）作关于轴的对称点则坐标为连接，

设的解析式为

将（1，4），（﹣3，0）分别代入解析式得，

解得

则函数解析式为

当时，

则P点坐标为（0，3）．