题目内容

【题目】如图①,在锐角ABC中,AB=5tanC=3BDAC于点DBD=3,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动,过点PPEAC交边BC于点E,以PE为边作RtPEF,使∠EPF=90°,点F在点P的下方,且EFAB.设PEFABD重叠部分图形的面积为S(平方单位)(S0),点P的运动时间为t(秒)(t0).

1)求线段AC的长.

2)当PEFABD重叠部分图形为四边形时,求St之间的函数关系式.

3若边EF与边AC交于点Q,连结PQ,如图②

①当PQPEF的面积分成12两部分时,求AP的长.

②直接写出PQ的垂直平分线经过ABC的顶点时t的值.

【答案】(1)5;(2)当0t≤1时,S=t2+t≤t5时,S=5t2;(3.

【解析】试题分析

1Rt△ABD中,由∠BDA=90°AB=5BD=3可由勾股定理求得AD=4Rt△BCD中,∠BDC=90°BD=3tanc=3,可求得CD=1由此可得AC=AD+CD=5

2由题意分析可知,如图1当点D在线段EF上或EF的下方时,△PEF△ABD重叠部分图形为矩形PMDN如图2,当点F落到AC上或AC的上方时,△PEF△ABD重叠部分图形为四边形PMFN;分这两种情况分析讨论即可;

3如图3、图4,分ISPFQSPEQ=12II SPFQSPEQ=21两种情况讨论,由此可分别可得到:SPEQSPEF=23SPEQSPEF=13从而可得PGPF=23PGPF=13结合PG= PF=即可解得所求AP的长;

如图5、图6,分IPQ的垂直平分线经过当点AIIPQ的垂直平分线经过点B两种情况分析讨论即可求得对应的t的值.

试题解析

1)在RtABD中,∠BDA=90°AB=5BD=3

AD=

RtBCD中,∠BDC=90°BD=3tanc=3

CD=

AC=AD+CD=4+1=5

2)如图1中,当0t≤1时,重叠部分是四边形PMDN

易知PA=tAM=tPM=tDM=4t

S=t4t=t2+t

如图2中,当≤t5时,重叠部分是四边形PNMF

AB=5AC=AD+CD=4+1=5

AC=AB

易证PB=PE=5tPF=5t),PN=5t),

S=5t5t5t5t=5t2

3①如图3中,PFACG

SPFQSPEQ=12时,

SPEQSPEF=23

PEPG PEPF=23

PGPF=23

t 5t=23

t=,即AP=

如图4中,当SPFQSPEQ=21时,

SPEQSPEF=13

PEPG PEPF=13

PGPF=13

t 5t=13

t=,即AP=

AP的值为

②如图5中,当PQ的垂直平分线经过当A时.

易知四边形APEQ时菱形,

PE=PA,即t=5﹣t

t=

如图6中,当PQ的垂直平分线经过点B时,作ENACNEPBDM

易知四边形PENG时矩形,四边形DMEN时矩形,

PG=EN=tEM=DN=PEPM=5t),

QN=EN=t

QD=t5t=t1

RtBQD中,∵BQ2=QD2+BD2

5﹣t2=32+t﹣12

t=

综上所述,t=ss时,PQ的垂直平分线过ABC的顶点.

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