题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．
【答案】
（1）
解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）
∴ 
，
解得 
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）
（2）
解：由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，
∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，
∴点E（2，3），
过点E作EH⊥BC于点H，
∵OC=OB=3，
∴BC= 
，
∵ 
，CE=2，
∴ 
，
解得EH= 
，
∵∠ECH=∠CBO=45°，
∴CH=EH= ，
∴BH=2 ，
∴在Rt△BEH中， 
（3）
解：当点M在点D的下方时
设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），
∴BP=2，DP=4，
∴ 
，
∵ 
，∠CBE、∠BDP均为锐角，
∴∠CBE=∠BDP，
∵△DMB与△BEC相似，
∴ 
或 
，
① ，
∵DM=4﹣m， 
， 
， 
∴ 
，
解得， 
，
∴点M（1， 
）
② ，则 
，
解得m=﹣2，
∴点M（1，﹣2），
当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．
综上所述，点M的坐标为（1， ）或（1，﹣2）．
【解析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分 和 两种情况，计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的概念的相关知识，掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数，以及对二次函数的图象的理解，了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．
