题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:ρ2﹣4ρcosθ+3=0,θ∈[0,2π],曲线C2:ρ= ,θ∈[0,2π]. (Ⅰ)求曲线C1的一个参数方程;
(Ⅱ)若曲线C1和曲线C2相交于A、B两点,求|AB|的值.
【答案】解:(I)曲线C1:ρ2﹣4ρcosθ+3=0,θ∈[0,2π], 可得直角坐标方程:x2+y2﹣4x+3=0,配方为:(x﹣2)2+y2=1,
利用x﹣2=cosα,y=sinα,可得曲线C1的一个参数方程: (α为参数,α∈R).
(II)曲线C2:ρ= ,(θ∈[0,2π]0,展开可得:4ρ
=3,
即2ρcosθ﹣2 sinθ=3,可得直角坐标方程:2x﹣2
y﹣3=0.
圆心到直线l的距离d= =
,∴|AB|=2
=2
=
.
【解析】(I)曲线C1:ρ2﹣4ρcosθ+3=0,θ∈[0,2π],可得直角坐标方程:x2+y2﹣4x+3=0,配方为:(x﹣2)2+y2=1,利用x﹣2=cosα,y=sinα,即可得出曲线C1的一个参数方程.(II)曲线C2:ρ= ,(θ∈[0,2π]0,展开可得:4ρ
=3,即2ρcosθ﹣2
sinθ=3,把
d代入可得直角坐标方程.利用懂得珍惜可得圆心到直线l的距离d,可得|AB|=2
.

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