Question

如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.

（1）若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.

Answer 1

（1）2  （2）证明见解析

（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，∴∠BAP＝90°；
又∵AB＝2，∠P＝30°，
∴AP＝＝＝2，
即AP＝2.
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP＝90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，即直线CD是⊙O的切线.