题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-1，0）、C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．
①当O′C′∥CP时，求α的大小；
②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．
①当O′C′∥CP时，求α的大小；
②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标．
（1）由题意得
，
解得
．
所以，此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）①如图，
顶点P为（1，4），CP=
=
，BC=
=3
，
BP=
=2
，
又因为CP2+BC2=PB2，
所以∠PCB=90°．
又因为O′C′∥CP，
所以O′C′⊥BC，
所以点O′在BC上，
所以α=45°．
②如备用图1，
当BC′与BP重合时，过点O′作O′D⊥OB于D．
因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
则△DBO′∽△CBP，
所以
=
，
所以
=
，
所以BD=3O′D．
设O′D=x，则BD=3x，根据勾股定理，得x2+（3x）2=32，
解得x=
，
所以BD=
，
所以点O′的坐标为（3-
，
）．
如备用图2，
当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，过点C′作C′E⊥BE于E，
因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以
=
，
所以
=
，
所以BE=3C′E．
设C′E为y，则BE=3y，根据勾股定理，
得y2+(3y)2=(3
)2，
解得y=
，
所以BE=
，
所以C′的坐标为（3+
，
）．
|
解得
|
所以，此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）①如图，顶点P为（1，4），CP=
| 12+12 |
| 2 |
| 32+32 |
| 2 |
BP=
| 22+42 |
| 5 |
又因为CP2+BC2=PB2，
所以∠PCB=90°．
又因为O′C′∥CP，
所以O′C′⊥BC，
所以点O′在BC上，
所以α=45°．
②如备用图1，
当BC′与BP重合时，过点O′作O′D⊥OB于D．因为∠PBC+∠CBO′=∠CBO′+∠ABO′=45°，
所以∠ABO′=∠PBC．
则△DBO′∽△CBP，
所以
| BD |
| BC |
| O′D |
| PC |
所以
| BD | ||
3
|
| O′D | ||
|
所以BD=3O′D．
设O′D=x，则BD=3x，根据勾股定理，得x2+（3x）2=32，
解得x=
| 3 |
| 10 |
| 10 |
所以BD=
| 9 |
| 10 |
| 10 |
所以点O′的坐标为（3-
| 9 |
| 10 |
| 10 |
| 3 |
| 10 |
| 10 |
如备用图2，
当BO′与BP重合时，过点B作x轴的垂线BE，过点C′作C′E⊥BE于E，因为∠PBE+∠EBC′=∠PBE+∠CBP=45°，
所以∠EBC′=∠PBC．
所以△EBC′∽△CBP，
所以
| BE |
| BC |
| C′E |
| PC |
所以
| BE | ||
3
|
| C′E | ||
|
所以BE=3C′E．
设C′E为y，则BE=3y，根据勾股定理，
得y2+(3y)2=(3
| 2 |
解得y=
| 3 |
| 5 |
| 5 |
所以BE=
| 9 |
| 5 |
| 5 |
所以C′的坐标为（3+
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 5 |
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