题目内容
如图1,直线y=-
x+2与x轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A(-1,0).

(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式;
(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合),过点P作直线a∥y轴,交抛物线于点E,交x轴于点F,设点P的横坐标为m,△BCE的面积为S.
①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
②求S的最大值,并判断此时△OBE的形状,说明理由;
(3)过点P作直线b∥x轴(图2),交AC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式;
(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合),过点P作直线a∥y轴,交抛物线于点E,交x轴于点F,设点P的横坐标为m,△BCE的面积为S.
①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
②求S的最大值,并判断此时△OBE的形状,说明理由;
(3)过点P作直线b∥x轴(图2),交AC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)在y=-
x+2中,令y=0,得-
x+2=0,解得x=3,
令x=0,得y=2,
∴B(3,0),C(0,2),
设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,2),
∴
,
解得
,
∴抛物线解析式为,y=-
x2+
x+2;
(2)①∵点P的横坐标为m,过点P作直线a∥y轴,
∴EP=-
m2+
m+2-(-
m+2)=-
m2+2m,
∴△BCE的面积为S=
EP•|xB-xC|=
×(-
m2+2m)×|3-0|=-m2+3m,
∵P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合),
∴0<m<3,
∴S与m之间的函数关系式为:S=-m2+3m(0<m<3);
②∵S=-m2+3m=-(m-
)2+
,
∴当m=
时,S最大值=
,
当m=
时,P是BC的中点,OE=BE,EF=
,
∴△OBE是等腰三角形;
(3)令y=0,则-
x2+
x+2=0,
整理得,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点A(-1,0),
易得直线AC的解析式为y=2x+2,
∵点P的横坐标为m,
∴点P的纵坐标为-
m+2,
∴点Q的纵坐标为-
m+2,
代入直线AC得,2x+2=-
m+2,
解得x=-
m,
∴PQ=m-(-
m)=
m,
①当PQ是等腰直角三角形△PQR的直角边时,
m=-
m+2,
解得m=1,
∴QR是直角边时,点R1(-
,0),
PQ是直角边时,点R2(1,0),
②PQ是等腰直角三角形△PQR的斜边时,
×
m=-
m+2,
解得m=
,
∴PQ=
m=
×
=2,
OR=m-
PQ=
-
×2=
,
∴点R3(
,0),
综上所述,x轴上存在点R(-
,0)或(1,0)或(
,0),使得△PQR为等腰直角三角形.
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令x=0,得y=2,
∴B(3,0),C(0,2),
设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,2),
∴
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解得
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∴抛物线解析式为,y=-
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(2)①∵点P的横坐标为m,过点P作直线a∥y轴,
∴EP=-
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∴△BCE的面积为S=
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∵P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合),
∴0<m<3,
∴S与m之间的函数关系式为:S=-m2+3m(0<m<3);
②∵S=-m2+3m=-(m-
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∴当m=
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∴△OBE是等腰三角形;
(3)令y=0,则-
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整理得,x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点A(-1,0),
易得直线AC的解析式为y=2x+2,
∵点P的横坐标为m,
∴点P的纵坐标为-
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∴点Q的纵坐标为-
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代入直线AC得,2x+2=-
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解得x=-
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∴PQ=m-(-
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①当PQ是等腰直角三角形△PQR的直角边时,
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解得m=1,
∴QR是直角边时,点R1(-
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PQ是直角边时,点R2(1,0),
②PQ是等腰直角三角形△PQR的斜边时,
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∴PQ=
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综上所述,x轴上存在点R(-
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