题目内容
如图,直角梯形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(
,0)、(2,0)和(2,3),
AB∥CD,∠C=90°,CD=CB.
(1)求点D的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c过原点O与点(7,1),且对称轴为过点(4,3)与y轴平行的直线,求抛物线的函数关系式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得PA+PB+PC+PD最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)求点D的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c过原点O与点(7,1),且对称轴为过点(4,3)与y轴平行的直线,求抛物线的函数关系式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得PA+PB+PC+PD最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵AB∥CD,C(2,3),
∴点D的纵坐标是3,
∵CD=CB,B(2,0),
∴点D到y轴的距离为3-2=1,
又∵点D在第二象限,
∴点D的坐标为D(-1,3);
(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
由题意得:
,
解得
,
所以,抛物线解析式为y=-
x2+
x;
(3)存在一点P(1,1),使得PA+PB+PC+PD.
理由如下:显然AC、BD的交点Q满足QA+QB+QC+QD最小,
设直线AC解析式为y=mx+n,
∵A(
,0),C(2,3),
∴
,
解得
,
∴直线AC的解析式为y=2x-1,
设直线BD的解析式为y=ex+f,
∵B(2,0),D(-1,3),
∴
,
解得
,
∴直线BD的解析式为y=-x+2,
联立
,
解得
,
∴Q(1,1),
当x=1时,y=-
x2+
x=1,
∴点Q在此抛物线上,
∴存在点P(1,1)使得PA+PB+PC+PD最小.
∴点D的纵坐标是3,
∵CD=CB,B(2,0),
∴点D到y轴的距离为3-2=1,
又∵点D在第二象限,
∴点D的坐标为D(-1,3);
(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
由题意得:
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解得
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所以,抛物线解析式为y=-
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(3)存在一点P(1,1),使得PA+PB+PC+PD.
理由如下:显然AC、BD的交点Q满足QA+QB+QC+QD最小,
设直线AC解析式为y=mx+n,
∵A(
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解得
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∴直线AC的解析式为y=2x-1,
设直线BD的解析式为y=ex+f,
∵B(2,0),D(-1,3),
∴
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解得
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∴直线BD的解析式为y=-x+2,
联立
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解得
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∴Q(1,1),
当x=1时,y=-
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∴点Q在此抛物线上,
∴存在点P(1,1)使得PA+PB+PC+PD最小.

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