题目内容
【题目】阅读材料，请回答下列问题
材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：S＝
…①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝
……②（其中p＝
）
材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）
（1）若已知三角形的三边长分别为3、4、5，请试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
【答案】（1）三角形的面积为6；（2）见解析.
【解析】
（1）根据材料，代入公式即可求解；
（2）根据平方差公式和完全平方公式即可推导．
解：（1）设a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝25，52＝25，
∴a2+b2＝c2，
a2b2＝144，
∴S＝
＝
＝6；
∵p＝
＝＝6，
p﹣a＝6﹣3＝3，p﹣b＝6﹣4＝2，p﹣c＝6﹣5＝1，
S＝
＝
＝6．
∴三角形的面积为6．
（2）∵
[a2b2﹣（
）2]
＝[
﹣
]
＝
[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]
＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a+c﹣b）（b+c﹣a）
＝×2p（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）
∴
＝.
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