Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE=DN.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.

试题分析：（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，从而ASA证明△ABF≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得到结论.
（2）①过E点作EG⊥AB于点G，通过证明EG是BM的垂直平分线就易得出结论.
②通过证明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN来证明结论.
试题解析：（1）如图，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°.
∴∠1=∠2.
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.
∴△ABF≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.
（2）①如图，过E点作EG⊥AB于点G，
∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG，∠3=45°.
∵BM=2DE，∴BM=2BG，即点G是BM的中点.∴EG是BM的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°.
∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.
②∵AD⊥BC，∴ME∥AD.∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5，∴∠1=∠6.∴AM=EM.
∵MC=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°.
∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA）.∴DE=DN.