Question

【题目】为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM=AN=CP=CQ，已知BC=24米，AB=40米，设AN=x米，种花的面积为y1平方米，草坪面积y2平方米．
（1）分别求y1和y2与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当AN的长为多少米时，种花的面积为440平方米？
（3）若种花每平方米需200元，铺设草坪每平方米需100元，现设计要求种花的面积不大于440平方米，设学校所需费用W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出学校所需费用的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，y2=2× xx+2× （40﹣x）（24﹣x）=2x2﹣64x+960，

y1=40×24﹣y2=﹣2x2+64x

（2）解：根据题意，知y1=440，即﹣2x2+64x=440，

解得：x1=10，x2=22，

故当AN的长为10米或22米时种花的面积为440平方米

（3）解：设总费用为W元，

则W=200（﹣2x2+64x）+100（2x2﹣64x+960）=﹣200（x﹣16）2+147200，

由（2）知当0＜x≤10或22≤x≤24时，y1≤440，

在W=﹣200（x﹣16）2+147200中，当x＜16时，W随x的增大而增大，当x＞16时，W随x的增大而减小，

∴当x=10时，W取得最大值，最大值W=140000，

当x=22时，W取得最大值，最大值W=140000，

∴学校所需费用的最大值为140000元

【解析】（1）根据三角形面积公式可得y2的解析式，再用长方形面积减去四个三角形面积，即可得y1的函数解析式；（2）根据题意知y1=440，即即可得关于x的方程，解方程即可得；（3）列出总费用的函数解析式，将其配方成顶点式，根据花的面积不大于440平方米可得x的范围，结合此范围根据二次函数性质即可得函数的最大值，从而得解．