Question

如图，是用四个长为m，宽为n的长方形围成一个大的正方形．
（1）请用两种方法表示图中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；
（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m-n=3，mn=10，求m+n的值．

Answer 1

考点：完全平方公式的几何背景

专题：

分析：（1）、观察图形很容易得出图中的阴影部分的正方形的边长等于m-n；大正方形的边长是m+n：
①直接利用正方形的面积求得；②运用大正方形的面积减去四个矩形的面积；
（2）、观察图形可知大正方形的面积（m+n）²，减去阴影部分的正方形的面积（m-n）²等于四块小长方形的面积4mn，即（m+n）²=（m-n）²+4mn；
（3）、由（2）很快可求出（m+n）²=（m+n）²+4mn=3²+4×10=49．

解答：解：（1）第一种表示方法：（m-n）²；第二种表示方法：（m+n）²-4mn．

（2）大正方形的面积为：（m+n）²，阴影部分的正方形的面积（m-n）²，四块小长方形的面积为4mn，
可得：（m-n）²=（m+n）²-4mn

（3）由（2）很快可求出（m+n）²=（m-n）²+4mn=3²+4×10=49，
可得：m+n=7．

点评：本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起；要学会观察．