题目内容
【题目】(问题情境)
(1)古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.射影定理是数学图形计算的重要定理.其符号语言是:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则:(1)AC=AB·AD;(2)BC=AB·BD;(3)CD = AD·BD;请你证明定理中的结论(1)AC = AB·AD.
(结论运用)
(2)如图2,正方形ABCD的边长为3,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,
①求证:△BOF∽△BED;
②若,求OF的长.
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②
【解析】
(1)证明△ACD∽△ABC,即可得证;
(2)①BC2=BOBD,BC2=BFBE,即BOBD=BFBE,即可求解;
②在Rt△BCE中,BC=3,BE=,利用△BOF∽△BED,即可求解.
解:(1)证明:如图1,∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
而∠A=∠A,∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC,
∴AC:AB=AD:AC,
∴AC = AB·AD;
(2)①证明:如图2,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OC⊥BO,∠BCD=90°,
∴BC2=BOBD,
∵CF⊥BE,
∴BC2=BFBE,
∴BOBD=BFBE,
即,而∠OBF=∠EBD,
∴△BOF∽△BED;
②∵在Rt△BCE中,BC=3,BE=,
∴CE=,
∴DE=BC-CE=2;
在Rt△OBC中,OB=BC=,
∵△BOF∽△BED,
∴,即,
∴OF=.
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