题目内容

【题目】(问题情境)

1)古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.射影定理是数学图形计算的重要定理.其符号语言是:如图1,在RtABC中,∠ACB=90°CDAB,垂足为D,则:(1AC=AB·AD(2)BC=AB·BD(3)CD = AD·BD;请你证明定理中的结论(1AC = AB·AD

(结论运用)

2)如图2,正方形ABCD的边长为3,点O是对角线ACBD的交点,点ECD上,过点CCFBE,垂足为F,连接OF

①求证:△BOF∽△BED

②若,求OF的长.

【答案】1)见解析;(2)①见解析;②

【解析】

1)证明△ACD∽△ABC,即可得证;
2)①BC2=BOBDBC2=BFBE,即BOBD=BFBE,即可求解;

②在RtBCE中,BC=3BE=,利用△BOF∽△BED,即可求解.

解:(1)证明:如图1,∵CDAB
∴∠BDC=90°

而∠A=A,∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC
ACAB=ADAC
AC = AB·AD
2)①证明:如图2

∵四边形ABCD为正方形,
OCBO,∠BCD=90°
BC2=BOBD
CFBE
BC2=BFBE
BOBD=BFBE
,而∠OBF=EBD
∴△BOF∽△BED
②∵在RtBCE中,BC=3BE=

CE=

DE=BC-CE=2
RtOBC中,OB=BC=

∵△BOF∽△BED

,即

OF=.

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