Question

如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，BP是⊙O的切线，连接PD并延长交⊙O于F、交AB于E，若∠BPF=∠ADC.
（1）判断直线PF与AC的位置关系，并说明你的理由；
（2）当⊙O的半径为5，tan∠P=，求AC的长.

Answer 1

（1）PF∥AC；理由见解析；（2）2．

试题分析：（1）连接BC，根据三角形内角和定理求出∠CAB=∠PEB，根据平行线的判定推出即可．
（2）求出sin∠ABC=sin∠P=，代入求出即可．
（1）解：直线BP和⊙O相切，
理由：连接BC，

∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵直线BP和⊙O相切，
∴∠PBA=90°，
∴∠P+∠PEB=90°，
∵∠P=∠ADC，
∴∠PEB=∠CAB，
∴PF∥AC；
（2）解：由已知，得∠ACB=90°，∠P=∠ADC=∠ABC，⊙O的半径为5，
∴AB=10，
∵tan∠P=，
∴sin∠ABC=，
∴AC=AB×=2．