题目内容

【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线为“友好抛物线”.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点A是抛物线上在第一象限的动点,过A作AQx轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.

(3)设抛物线的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.

【答案】(1) ;(2) 当a=时,AQ+OQ有最大值,最大值为(3)存在点M,(1,2)或(1,5).

【解析】

试题分析:(1)先求得顶点坐标,然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值;

(2)设A(a,).则OQ=x,AQ=,然后得到OQ+AQ与a的函数关系式,最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值;

(3)连接BC,过点B′作B′DCM,垂足为D.接下来证明BCM≌△MDB′,由全等三角形的性质得到BC=MD,CM=B′D,设点M的坐标为(1,a).则用含a的式子可表示出点B′的坐标,将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值,从而得到点M的坐标.

试题解析:(1)=

抛物线的顶点坐标为(1,4).

抛物线顶点相同,

=1,﹣1+m+n=4.

解得:m=2,n=3.

抛物线的解析式为

(2)如图1所示:

设点A的坐标为(a,).

AQ=,OQ=a,

AQ+OQ=+a==

当a=时,AQ+OQ有最大值,最大值为

(3)存在点M,理由如下:

如图2所示;连接BC,过点B′作B′DCM,垂足为D.

B(﹣1,4),C(1,4),抛物线的对称轴为x=1,

BCCM,BC=2.

∵∠BMB′=90°,

∴∠BMC+B′MD=90°.

B′DMC,

∴∠MB′D+B′MD=90°.

∴∠MB′D=BMC.

BCM和MDB′中,MB′D=BMC BCM=MDB,BM=MB

∴△BCM≌△MDB′.

BC=MD,CM=B′D.

设点M的坐标为(1,a).则B′D=CM=4﹣a,MD=CB=2.

点B′的坐标为(a﹣3,a﹣2).

整理得:﹣7a+10=0.

解得a=2,或a=5.

当a=2时,M的坐标为(1,2),

当a=5时,M的坐标为(1,5).

综上所述当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时,B′恰好落在抛物线上.

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