题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于点A(8,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PB并延长交y轴于点D,若点P的横坐标为t,CD长为d,求d与t的函数关系式(并求出自变量t的取值范围);
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AC,过点P作PH⊥x轴,垂足为点H,延长PH交AC于点E,连接DE,射线DP关于DE对称的射线DG交AC于点G,延长DG交抛物线于点F,当点G为AC中点时,求点F的坐标.
【答案】见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法直接求出抛物线解析式;
(2)先表示出BH,PH,进而得出∠HBP的正切值,再用等角的同名三角函数即可表示出OD,即可得出结论;
(3)先求出直线AC解析式,进而判断出四边形DOMN是矩形,最后用三角函数和对称性求出t,即可得出OD和tan∠GDN=,即可得出结论.
试题解析:证明:(1)∵抛物线y=x2-bx+c过A(8,0)、B(2,0)两点,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x+4
(2)如图2,
过点P作PH⊥AB于点H,
设点P(t,t2-t+4)
∴BH=t﹣2,PH=-t2-t+4
∴tan∠HBP==,
∵∠OBD=∠HBP,
∴tan∠OBD=tan∠HBP,
∴-=,
∴OD=-t+4,
∴CD=4﹣OD=
∴d=t(2<t<8),
(3)如图3,
设直线 AC的解析式为y=kx+b,
∴
∴,
∴直线AC的解析式为y=-x+4,
∴点E(t,-t+4)
∴EH=OD=-t+4,
∵EH∥OD,
∴四边形DOHE是矩形,
∴DE∥OH,
取AO的中点M,
连接GM,交DE于点N,
∴GM∥OC,
∴GN⊥DE,
∴四边形DOMN是矩形,
∴OD=NM=-t+4,NG=2﹣MN=t-2,
∵DN=OM=4
tan∠GDN==t-,
∵由对称性得∠PDE=∠GDE=∠HBP
tan∠GDN=tan∠HBP,
∴t-=-(t-8),
∴t=
∴OD=,
∴tan∠GDN=,
设点F(m,m0-m+4
过点F作FK⊥DE交延长线于点K,
tan∠GDN===,
∴m1=10,m2=(舍),
∴F(10,4),