题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2bx+c与x轴交于点A(8,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C.

(1)如图1,求抛物线的解析式;

(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PB并延长交y轴于点D,若点P的横坐标为t,CD长为d,求d与t的函数关系式(并求出自变量t的取值范围);

(3)如图3,在(2)的条件下,连接AC,过点P作PHx轴,垂足为点H,延长PH交AC于点E,连接DE,射线DP关于DE对称的射线DG交AC于点G,延长DG交抛物线于点F,当点G为AC中点时,求点F的坐标.

【答案】见解析.

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法直接求出抛物线解析式;

(2)先表示出BH,PH,进而得出HBP的正切值,再用等角的同名三角函数即可表示出OD,即可得出结论;

(3)先求出直线AC解析式,进而判断出四边形DOMN是矩形,最后用三角函数和对称性求出t,即可得出OD和tanGDN=,即可得出结论.

试题解析:证明:(1)抛物线y=x2-bx+c过A(8,0)、B(2,0)两点,

抛物线的解析式为:y=x2x+4

(2)如图2,

过点P作PHAB于点H,

设点P(t,t2-t+4)

BH=t2,PH=-t2-t+4

tanHBP==

∵∠OBD=HBP,

tanOBD=tanHBP,

-=

OD=-t+4,

CD=4OD=

d=t(2<t<8),

(3)如图3,

设直线 AC的解析式为y=kx+b,

直线AC的解析式为y=-x+4,

点E(t,-t+4)

EH=OD=-t+4,

EHOD,

四边形DOHE是矩形,

DEOH,

取AO的中点M,

连接GM,交DE于点N,

GMOC,

GNDE,

四边形DOMN是矩形,

OD=NM=-t+4,NG=2MN=t-2,

DN=OM=4

tanGDN==t-

由对称性得PDE=GDE=HBP

tanGDN=tanHBP,

t-=-(t-8),

t=

OD=

tanGDN=

设点F(m,m0-m+4

过点F作FKDE交延长线于点K,

tanGDN===

m1=10,m2=(舍),

F(10,4),

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