题目内容
【题目】小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究：
（问题背景）
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝
CD，从而得出结论：AC+BC＝CD．
（简单应用）
（1）在图①中，若AC＝
，BC＝2，则CD＝ ．
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
，若AB＝10，BC＝8，求CD的长．
（拓展延伸）
（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝a，BC＝b（a＜b），求CD的长．（用含a，b的代数式表示）．
（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝
AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，请直接写出线段PQ与AC的数量关系．
【答案】（1）
；（2）7
；（3）CD＝
；（4）线段PQ与AC的数量关系是
或
．
【解析】
（1）由题意可知：AC+BC=CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；
（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；
（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．
（1）由题意可得：AC+BC＝CD，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵AD＝BD，
将△BCD绕点D顺时针旋转90°到△AED处，如图③，
∴∠EAD＝∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC＝180°，
∴∠EAD+∠DAC＝180°，
∴E、A、C三点共线，
∵AB＝10，BC＝8，
∴由勾股定理可求得：AC＝6，
∵BC＝AE，
∴CE＝AE+AC＝14，
∵∠EDA＝∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，
即∠EDC＝∠ADB＝90°，
∵CD＝ED，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴CE＝CD，
∴CD＝7；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，
连接D1A，D1B，D1C，如图④
由（2）的证明过程可知：AC+BC＝D1C，
∴
，
又∵D1D是⊙O的直径，
∴∠DCD1＝90°，
∵AC＝a，BC＝b，
∴由勾股定理可求得：AB2＝a2+b2，
∴D1D2＝AB2＝a2+b2，
∵D1C2+CD2＝D1D2，
∴CD2＝a2+b2﹣
，
∵a＜b，
∴
；
（4）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，
连接CQ，PC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
点P是AB的中点，
∴AP＝CP，∠APC＝90°，
又∵CA＝CE，点Q是AE的中点，
∴∠CQA＝90°，
设AC＝a，
∵AE＝
，
∴
，
∴
，
由勾股定理可求得：
，
由（2）的证明过程可知：AQ+CQ＝PQ，
∴
，
∴
，
当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，
连接CQ、CP，
同理可知：∠AQC＝∠APC＝90°，
设AC＝a，
∴，
由勾股定理可求得：
，
由（3）的结论可知：
，
∴
，
综上所述，线段PQ与AC的数量关系是或．
