Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：如图1，连接AN，

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根据折叠的性质，可得
AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN为等边三角形．
∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，
即结论①正确；
∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，
∴AM=，
即结论②不正确．
∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，
∴QN=BG；
∵BG=BM=，
∴QN=，
即结论③不正确．
∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，
∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，
∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG为等边三角形，
即结论④正确．
∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，
∴BN⊥MG，∴BN=BGsin60°=，
根据条件易知E点和H点关于BM对称，∴PH=PE，
∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH=PN+PE=EN，
∵EN==，
∴PN+PH=，
∴PN+PH的最小值是，
即结论⑤正确．
故答案为：①④⑤．
①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°．
②首先根据∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根据AB=2，求出AM的大小即可．
③首先根据EF∥BC，QN是△MBG的中位线，可得QN=BG；然后根据BG=BM=，求出QN的长度即可．
④根据∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等边三角形．
⑤首先根据△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，判断出BN⊥MG，即可求出BN的大小；然后根据E点和H点关于BM称可得PH=PE，因此P与Q重合时，PN+PH=PN+PE=EN，据此求出PN+PH的最小值是多少即可．