题目内容

【题目】如图(1),AB=4cmACABBDABAC=BD=3cm,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,他们的运动时间为t(s).

1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,ACPBPQ是否全等,请说明理由

2)判断此时线段PC和线段PQ的关系,并说明理由。

3)如图(2),将图(1)中的“ACABBDAB”改为“∠CAB=DBA=60°”,其他条件不变,设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得ACPBPQ全等?若存在,求出相应的xt的值;若不存在,请说明理由。

【答案】1)△ACP≌△BPQ,理由见解析;
2PC=PQPCPQ,理由见解析;

3)存在;

【解析】

1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ

2)由(1)得出PC=PQ,∠ACP=BPQ,进一步得出∠APC+BPQ=APC+ACP=90°得出结论即可;

3)分两种情况:①AC=BPAP=BQ,②AC=BQAP=BP,建立方程组求得答案即可.

解:(1)如图(1),△ACP≌△BPQ,理由如下:


t=1时,AP=BQ=1

BP=AC=3

又∵∠A=B=90°
在△ACP和△BPQ中,

∴△ACP≌△BPQSAS).
2PC=PQPCPQ,理由如下:

由(1)可知△ACP≌△BPQ

PC=PQ,∠ACP=BPQ
∴∠APC+BPQ=APC+ACP=90°
∴∠CPQ=90°
PCPQ
3)如图(2),分两种情况讨论:

AC=BPAP=BQ时,△ACP≌△BPQ,则

解得

AC=BQAP=BP时,△ACP≌△BQP,则,

解得

综上所述,存在使得△ACP与△BPQ全等.

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