Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）如图①，当点E是BC边上任一点（不与点B、C重合）时，求证：AE=EF．

（2）如图②当点E是BC边的延长线上一点时，（1）中的结论还成立吗？ （填成立或者不成立）．

（3）当点E是BC边上任一点（不与点B、C重合）时，若已知AE=EF，那么∠AEF的度数是否发生变化？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠AEF=90°不发生变化．理由见解析.

【解析】

（1）在AB上取点G，使得BG=BE，连接EG，根据已知条件利用ASA判定△AGE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF；

（2）在BA的延长线上取一点G，使AG=CE，连接EG，根据已知利用ASA判定△AGE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF；

（3）在BA边取一点G，使BG=BE，连接EG．作AP⊥EG，EQ⊥FC，先证AGP≌△ECQ得AP=EQ，再证Rt△AEP≌Rt△EFQ得∠AEP=∠EFQ，∠BAE=∠CEF，结合∠AEB+∠BAE=90°知∠AEB+∠CEF=90°，从而得出答案．

（1）证明：在BA边取一点G，使BG=BE，连接EG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，BA=BC，∠DCM═90°，

∴BA-BG=BC-BE，

即AG=CE．

∵∠AEF=90°，∠B=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠CEF=∠BAE．

∵BG=BE，CF平分∠DCM，

∴∠BGE=∠FCM=45°，

∴∠AGE=∠ECF=135°，

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．

（2）成立，

理由：在BA的延长线上取点G，使得AG=CE，连接EG．

∵四边形ABCD为正方形，AG=CE，

∴∠B=90°，BG=BE，

∴△BEG为等腰直角三角形，

∴∠G=45°，

又∵CF为正方形的外角平分线，

∴∠ECF=45°，

∴∠G=∠ECF=45°，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEM=90°-∠AEB，

又∵∠BAE=90°-∠AEB，

∴∠FEM=∠BAE，

∴∠GAE=∠CEF，

在△AGE和△ECF中，

∵，

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．

故答案为：成立．

（3）∠AEF=90°不发生变化．

理由如下：在BA边取一点G，使BG=BE，连接EG．分别过点A、E作AP⊥EG，EQ⊥FC，垂足分别为点P、Q，

∴∠APG=∠EQC=90°，

由（1）中知，AG=CE，∠AGE=∠ECF=135°，

∴∠AGP=∠ECQ=45°，

∴△AGP≌△ECQ（AAS），

∴AP=EQ，

∴Rt△AEP≌Rt△EFQ（HL），

∴∠AEP=∠EFQ，

∴∠BAE=∠CEF，

又∵∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠AEF=90°．