题目内容
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,若⊙O的半径为6cm,且∠AED=45°.(1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求图中阴影部分的面积;
(3)若EF=1cm,求DF的长.
分析 (1)连接OD、DB,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,∠ABD=∠AED=45°,则△ADB为等腰直角三角形,所以DO⊥AB,再根据平行四边形的性质得DC∥AB,所以DO⊥DC,于是可根据切线的判定定理得到DC为⊙O的切线;
(2)根据平行四边形的性质得DC=AB=12cm,然后根据扇形的面积公式和阴影部分面积=S梯形DOBC-S扇形BOD进行计算;
(3)设OF=a,DF=b,由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB,即b=(3+a)(3-a)①,又b2-a2=9②,解方程组即可解决问题.
解答 解:(1)CD与⊙O相切.理由如下:
连接OD、DB,如图,
∵AB⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABD=∠AED=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴DO⊥AB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴DO⊥DC,
∴DC为⊙O的切线;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=12cm,
∴阴影部分面积=S梯形DOBC-S扇形BOD
=$\frac{1}{2}$×(6+12)×6-$\frac{90π•{6}^{2}}{360}$=(54-9π)cm2;
(3)设OF=a,DF=b,由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB,
∴b=(3+a)(3-a)①
又∵b2-a2=9②,
由①②得到b=$\frac{-1+\sqrt{73}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{73}}{2}$(舍弃),
∴DF=$\frac{\sqrt{73}-1}{2}$.
点评 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式,学会利用分割法求面积,相交用方程组的思想思考问题,属于中考压轴题.
练习册系列答案
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9.今年“十一”黄金周期间,黄山风景区在7天假期中每天游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数)
(1)请判断七天内游客人数最多的是3日,最少的是7日,它们相差2.2万人.
(2)如果最多一天有游客3万人,那么9月30日游客有多少万人?
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人数变化(万人) | +1.6 | +0.8 | +0.4 | -0.4 | -0.8 | +0.2 | -1.2 |
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