题目内容
如图,点D是⊙O直径CA的延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若点E是劣弧BC上一点,弦AE与BC相交
于点F,且CF=9,cos∠BFA=
,求EF的长.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若点E是劣弧BC上一点,弦AE与BC相交
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(1)证明:联结BO,……………………………1分
方法一:∵AB=AD,∴∠D=∠ABD,
∵AB=AO,
∴∠ABO=∠AOB,………………2分
又在△OBD中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°,
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO,
∴BD是⊙O的切线.····················· 3分
方法二:∵AB=AO,BO=AO,∴AB=AO=BO,∴△ABO为等边三角形,
∴∠BAO=∠ABO=60°,
∵AB=AD,∴∠D=∠ABD,
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°,∴∠ABD=30°, …………………2分
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°,即BD⊥BO,
∴BD是⊙O的切线. ……………………………………………………3分
方法三:∵ AB=AD=AO,∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上 …………2分
∴∠OBD=90°,即BD⊥BO,
∴BD是⊙O的切线. ……………………………………………………3分
(2)解:∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF,∴△ACF∽△BEF, ……………………·· 4分
∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,
在Rt△BFA中,cos∠BFA=
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∴EF=6.…………………5分
略
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