题目内容

【题目】如图,抛物线x轴交于A、B两点,与轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点Fx轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.

(1)求抛物线所对应的函数解析式.

(2)若点P为抛物线对称轴上的一个动点,求PAC周长的最小值.

(3)将AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.

【答案】(1),(2),(3)G不在该抛物线上.

【解析】

(1)利用矩形的性质得出E,C点坐标,进而利用待定系数法求二次函数解析式;

(2)先根据题意得出直线AE与对称轴的交点为点P时,△PAC的周长最小,再求出AC+AE的值即可;

(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可.

(1)∵四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,

∴C点坐标为:(0,3),E点坐标为:(2,3),

将C,E代入y=-x2+bx+c得:

解得:

∴抛物线对应的函数解析式为:y=-x2+2x+3;

(2)∵y=-x2+2x+3,

A(-1,0),

∴AF=3,

由于点C、E关于抛物线对称轴对称,

取直线AE与对称轴的交点为点P时,

△PAC的周长最小,

△PAC周长=AC+AE=+=+=.

(3)点G不在该抛物线上.

根据题意,绕点C逆时针旋转落在所在的直线上,

由(2)可知

A对应点G的坐标为

时,

所以点G不在该抛物线上.

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