题目内容

【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②b<a+c;③4a﹣2b+c>0;④2c<3b;⑤当m≤x≤m+1时,函数的最大值为a+b+c,则0≤m≤1;
其中正确的结论有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

【答案】B
【解析】解:①∵抛物线的对称轴为x=﹣ =1,

∴b=﹣2a.

∵抛物线开口向下,

∴a<0,b>0.

∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,

∴c>0,

∴abc<0,结论①错误;

②当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,

∴a+c<b,结论②错误;

③当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c<0,

∴结论③错误;

④∵a+c<b,b=﹣2a,

∴c<b﹣a= b,

∴2c<3b,结论④正确;

⑤∵抛物线的顶点坐标为(1,a+b+c),且a<0,

∴当m≤x≤m+1时,函数的最大值为a+b+c,则0≤m≤1,

∴结论⑤正确.

综上所述:正确的结论有④⑤.

所以答案是:B.

【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数图象以及系数a、b、c的关系和二次函数的最值的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握二次函数y=ax2+bx+c中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上; a<0时,抛物线开口向下b与对称轴有关:对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c);如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a.

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